题目内容

已知数列{an}满足a1=,且前n项和Sn满足:Sn=n2an,求{an}的通项公式,并给出证明.

解:由已知a1=,Sn=n2an,a1+a2=4a2,?

a2=a1=,a1+a2+a3=9a3.?

∴a3=.同理a4=.?

猜想:an=.?

下面用数学归纳法加以证明:?

(1)当n=1时,a1=,而=,公式成立.?

(2)假设当n=k时,公式成立,即ak=.?

当n=k+1时,?

ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)2ak+1-k2ak.?

ak+1=ak=·=,?

即当n=k+1时,公式也成立.?

由(1)(2)可知,对任何n∈N*公式都成立.

练习册系列答案
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已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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