Question

已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．且当x＞0时，f(x)＜0恒成立，f(3)＝－3．

(1)证明：函数y＝f(x)是R上的减函数；

(2)证明：函数y＝f(x)是奇函数；

(3)试求函数y＝f(x)在[m，n](m，n∈Z)的值域．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)． 　　∵x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＜0． 　　∴f(x2)＝f(x1)＋f(x2－x1)＜f(x1)． 　　故f(x)是R上的减函数． 　　(2)证明：∵f(a＋b)＝f(a)＋f(b)恒成立， 　　∴可令a＝－b＝x， 　　则有f(x)＋f(－x)＝f(0)，又令a＝b＝0，则有f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0． 　　从而x∈R，f(x)＋f(－x)＝0， 　　∴f(－x)＝－f(x)．故y＝f(x)是奇函数． 　　(3)解：由于y＝f(x)是R上的单调递减函数，∴y＝f(x)在[m，n]上也是减函数，故f(x)在[m，n]上的最大值f(x)max＝f(m)，最小值f(x)min＝f(n)． 　　由于f(n)＝f[1＋(n－1)]＝f(1)＋f(n－1)＝…＝nf(1)，同理f(m)＝mf(1)． 　　又f(3)＝3f(1)＝－3，∴f(1)＝－1， 　　∴f(m)＝－m，f(n)＝－n． 　　因此函数y＝f(x)在[m，n]上的值域为[－n，－m]．

提示：

分析：(1)应根据函数的单调性定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件；(2)根据函数的奇偶性定义进行证明，只需证f(－x)＋f(x)＝0． 　　(3)可考虑运用(1)、(2)两小题的结论． 　　解题心得：(1)运用单调性是求最值(或值域)常用方法之一．特别是对于抽象函数． 　　(2)满是f(a＋b)＝f(a)＋f(b)的函数，只要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数(当然f(x)不恒为零，否则f(x)既是奇函数又是偶函数)． 同理可证明：若函数f(x)(x∈R，x≠0)恒有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，则f(x)为偶函数． 　　(3)若将题设条件中的x＞0时，都有f(x)＜0，改为f(x)＞0恒成立，则函数f(x)就是R上的单调增函数． 　　(4)解题中f(n)＝nf(1)(n∈Z)的严格证明，要用数学归纳法．