Question

一个袋子里装有大小相同，且标有数字1～5的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，…，标有数字5的小球有5个．
（Ⅰ）从中任意取出3个小球，求取出的小球都标有偶数数字的概率；
（Ⅱ）从中任意取出2个小球，求小球上所标数字之和为6的概率；
（Ⅲ）设任意取出的1个小球上所标数字为ξ，求Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件从中任意取出3个小球，共有C₁₅³种结果，标有偶数数字的小球共有2+4个，根据等可能事件的概率得到结果．
（Ⅱ）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从中任意取出2个小球，共有C₁₅²种结果，满足条件的事件是2个小球上所标数字之和为6有三种情况，即（1，5），（2，4），（3，3）．这三种情况是互斥的，根据概率公式得到结果．
（Ⅲ）任意取出的1个小球上所标数字为ξ，ξ的可能取值是1，2，3，4，5，结合变量对应的事件，根据等可能事件的概率，写出变量的概率，写出分布列和期望．

解答：解：袋子里共装有1+2+3+4+5=15个小球．
（Ⅰ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件数是C₁₅³，
标有偶数数字的小球共有2+4=6个，
∴取出的3个小球全标有偶数数字的概率为P=

C 3 6

C 3 15

=

4

91

．

（Ⅱ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从中任意取出2个小球，共有C₁₅²种结果，
满足条件的事件是2个小球上所标数字之和为6有三种情况，即（1，5），（2，4），（3，3）．
这三种情况是互斥的，
∴概率P=

C 1 1 C 1 5 + C 1 2 C 1 4 + C 2 3

C 2 15

=

16

105

．

（Ⅲ）任意取出的1个小球上所标数字为ξ，ξ的可能取值是1，2，3，4，5，由题意知
P（ξ=1）=

1

15

；P（ξ=2）=

2

15

P（ξ=3）=

3

15

；P（ξ=4）=

4

15

P（ξ=5）=

5

15

∴取出的小球上所标数字的分布列为

∴Eξ=1×

1

15

+2×

2

15

+3×

3

15

+4×

4

15

+5×

5

15

=

55

15

=

11

3

．

点评：本题可选离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查互斥事件的概率，考查利用概率知识解决实际问题，是一个综合题目．