Question

已知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），若数列：2，f（a₁），f（a₂），…，成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若0＜a＜1，数列{a_n}的前n项和为S_n，求；
（3）若a=2，令b_n=a_n•f（a_n），对任意，求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（1）2n+4=2+（n+2-1）d，
∴d=2，
∴f（a_n）=2+（n+1-1）•2=2n+2，
∴．
（2）因为，数列是等比数列，首项为，公比为a²，
所以，
所以==．
（3）由已知与（2）可得：
．，
∴b_n+1＞b_n．
∴{b_n}为递增数列
∴b_n中最小项为，
∴2⁶＞2^t，
∴t＜6．
分析：（1）利用数列：2，f（a₁），f（a₂），…，成等差数列，推出数列的公差，求出f（a_n），利用对数关系，求出数列{a_n}的通项a_n；
（2）求出数列的前n项和，利用若0＜a＜1，直接求解；
（3）利用a=2，求出b_n=a_n•f（a_n）的表达式，利用对任意，得到2⁶＞2^t，然后求实数t的取值范围．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限，数列的基本性质的应用，考查转化思想，计算能力．