Question

已知数列{a_n}：1，1+

1

2

，1+

1

3

+

2

3

，1+

1

4

+

2

4

+

3

4

，…，1+

1

n

+

2

n

+…+

n-1

n

，…．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n，并证明数列{a_n}是等差数列；
（II）设bn=

n

(an+1-an)n

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（I）∵a_n=1+

1

n

+

2

n

+…+

n-1

n

=1+

( 1 n + n-1 n )(n-1)

2

=

n+1

2

，
∴a_n+1-a_n=

(n+1)+1

2

-

n+1

2

=

1

2

，又a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列；
（II）∵b_n=

n

(an+1-an)n

=

n

( 1 2 )n

=n•2ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1×2¹+2×2²+…+n•2ⁿ，①
∴2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-T_n=2¹+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．