题目内容

设函数 $数学公式$ 的最大值为M，若有10个互不相等的正数x_i满足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10），则x₁+x₂+…+x₁₀=________．

$\text{[math]}$
分析：由 $\text{[math]}$ =2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），知f（x）周期为T=π，f（x_i）=M为最大值，由2x_i+ $\text{[math]}$ =2kπ+ $\text{[math]}$ ，x_i=kπ+ $\text{[math]}$ ，且x_i＜10π，知x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ，x₃=2 $\text{[math]}$ ，…，x₁₀=9 $\text{[math]}$ ，由此能求出x₁+x₂+…+x₁₀．
解答：∵ $\text{[math]}$
=cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x
=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
∴f（x）周期为T=π，f（x_i）=M为最大值，
∵2x_i+ $\text{[math]}$ =2kπ+ $\text{[math]}$ ，x_i=kπ+ $\text{[math]}$ ，且x_i＜10π，
所以x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ，x₃=2 $\text{[math]}$ ，…，x₁₀=9 $\text{[math]}$ ，
∴x₁+x₂+…+x₁₀=（0+1+2+3+…+9）π+10 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查正弦函数的定义域和值域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．