题目内容

已知数列{an}的前n项和Sn=（n2+n）•3n．
（Ⅰ）求
lim
n→∞
an
Sn
；（Ⅱ）证明：
a1
12
+
a2
22
+…+
an
n2
＞3n．
分析：（1）由题意知
lim
n→∞
an
Sn
=
lim
n→∞
Sn-Sn-1
Sn
=
lim
n→∞
(1-
Sn-1
Sn
)=1-
lim
n→∞
Sn-1
Sn
，由此可知答案．
（2）由题意知，
a1
12
+
a2
22
+…+
an
n2
=
S1
12
+
S2-S1
22
+…+
Sn-Sn-1
n2

=(
1
12
-
1
22
) S1 +(
1
22
-
1
32
) S2 +…+(
1
(n-1)2
-
1
n2
)Sn-1+
1
n2
Sn＞
1
n2
Sn，由此可知，当n≥1时，
a1
12
+
a2
22
+…+
an
n2
＞3n．
解答：解：（1）
lim
n→∞
an
Sn
=
lim
n→∞
Sn-Sn-1
Sn
=
lim
n→∞
(1-
Sn-1
Sn
)=1-
lim
n→∞
Sn-1
Sn
lim
n→∞
Sn-1
Sn
=
lim
n→∞
n-1
n+1
•
1
3
=
1
3
，所以
lim
n→∞
an
Sn
=
2
3
（6分）
（2）当n=1时，
a1
12
=S1=6＞3；
当n＞1时，
a1
12
+
a2
22
+…+
an
n2
=
S1
12
+
S2-S1
22
+…+
Sn-Sn-1
n2

=(
1
12
-
1
22
) S1 +(
1
22
-
1
32
) S2 +…+(
1
(n-1)2
-
1
n2
)Sn-1+
1
n2
Sn＞
1
n2
Sn=
n2+n
n2
•3n＞3n
所以，n≥1时，
a1
12
+
a2
22
+…+
an
n2
＞3n．（12分）
点评：本题考查数列的极限问题，解题时要注意公式的灵活运用．
练习册系列答案
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19、已知数列{an}的前n项和Sn=n2（n∈N*），数列{bn}为等比数列，且满足b1=a1，2b3=b4
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和．
已知数列{an}的前n项和Sn=an2+bn（a、b∈R），且S25=100，则a12+a14等于（　　）
A、16B、8C、4D、不确定
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1，那么它的通项公式为an=
 
．
13、已知数列{an}的前n项和为Sn=3n+a，若{an}为等比数列，则实数a的值为
-1
．
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=kSn+2，又a1=2，a2=1．
（1）求k的值及通项公式an．
（2）求Sn．

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