Question

20．已知函数f（x）=e^x-kx，其中k∈R，
（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证：当k＞ln2-1且x＞0时，f（x）＞x²-3kx+1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）问题转化为对于任意x≥0，f（x）＞0恒成立．通过讨论x的范围，用分离参数法易求k；
（Ⅲ）问题等价于e^x-x²+2kx-1＞0．令g（x）=e^x-x²+2kx-1，通过求导得到g（x）＞g（0）=0，从而证出结论．

解答 解：（1）f（x）=e^x-ex，f′（x）=e^x-e
当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0；
∴f（x）的单调减区间为（-∞，1），f（x）的单调增区间为（1，+∞）；
（2）∵f（|x|）为偶函数，所以若k＞0，且对于任意x∈R，
f（|x|）＞0恒成立等价于对于任意x≥0，f（x）＞0恒成立．
当x=0，时f（x）=1＞0恒成立，x≠0，时用分离参数法易求k∈（0，e）；
（3）f（x）=e^x-kx，f（x）＞x²-3kx+1，
即e^x-kx＞x²-3kx+1等价于e^x-x²+2kx-1＞0．
令g（x）=e^x-x²+2kx-1，g′（x）=e^x-2x+2k，
令h（x）=e^x-2x+2k，h′（x）=e^x-2，
当x∈（0，ln2）时，h′（x）＜0
当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，
∴h（x）≥h（ln2）=2（1-ln2+k），
∵k＞ln2-1，∴h（x）≥0，即g′（x）≥0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，
∴g（x）＞g（0）=0，故命题成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．