Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=

2

7

(8n-1)．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）设b_n=log₂a_n，求

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由数列{a_n}的前n项和S_n=

2

7

(8n-1)．利用公式a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出数列{a_n}的通项公式a_n．
（Ⅱ）由a_n=2^3n-2（n∈N^*），知b_n=log₂2^3n-2=3n-2，由此能求出

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

．

解答：解：（Ⅰ）a₁=S₁=

2

7

（8¹-1）=2．…（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=

2

7

（8ⁿ-1）-

2

7

（8^n-1-1）=2^3n-2．
当n=1时上式也成立，
所以a_n=2^3n-2（n∈N^*）．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
b_n=log₂2^3n-2=3n-2，…（7分）
所以

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×4

+

1

4×7

+…+

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

[（1-

1

4

）+（

1

4

-

1

7

）+…+（

1

3n-2

-

1

3n+1

）]
=

1

3

（1-

1

3n+1

）
=

n

3n+1

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．