题目内容
【题目】如图，在棱长为1的正方体
中，动点
在线段
上运动，且有
.
（1）若
，求证：
；
（2）若二面角
的平面角的余弦值为
，求实数
的值.
【答案】(1)见证明；(2) 
【解析】
（1）当
时，
与
重合，连接
，可得
，再由正方体特征可证得
，即可证得
平面
，问题得证。
（2）以
为坐标原点，
，
，
分别为
，
，
轴建立空间直角坐标系.分别求出平面
的一个法向量
及平面
的一个法向量
，利用向量夹角的坐标表示列方程即可求得，问题得解。
（1）当时，与重合，连接，
则在正方形
中，.
又在正方体中
底面，而
平面，所以.
，所以平面，
而
平面，所以
，也即
.
（2）依题意，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则
，
，
，
.
，
，
.
设平面的一个法向量
，
则
，即
，
取
得.
设平面的一个法向量
，
则
，即
，
取
得.
所以
，
解得或
.
因为
，所以.
练习册系列答案
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（1）根据这200个样本数据，得到职工每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：
，
，
，
，
，
.估计该单位职工每周平均体育运动时间超过4小时的概率；
（2）估计该单位职工每周平均体育运动时间的平均数和中位数（保留两位小数）；
（3）在样本数据中，有40位女职工的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有90%的把握认为“该单位职工的每周平均体育运动时间与性别有关”，
| 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
附：
.
