Question

如图，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别是棱AD，AA₁，AB的中点．

(1)证明：直线EE₁∥平面FCC₁；

(2)求二面角B－FC₁－C的余弦值．

Answer 1

解：(1)证法一：取A₁B₁的中点F₁，连结FF₁，C₁F₁，

由于FF₁∥BB₁∥CC₁，所以F₁∈平面FCC₁，

因此平面FCC₁，即为平面C1CFF₁，

连结A₁D，F₁C，由于A₁F₁ D₁C₁  CD，所以四边形A₁DCF₁为平行四边形，因此A₁D∥F₁C.

又EE₁∥A₁D，得EE₁∥F₁C，

而EE₁⊄平面FCC₁，F₁C⊂平面FCC₁，

故EE₁∥平面FCC₁.

证法二：因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CDAF，

因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.

又CC₁∥DD₁，FC∩CC₁＝C，FC⊂平面FCC₁，CC₁⊂平面FCC₁，

所以平面ADD₁A₁∥平面FCC₁，

又EE₁⊂平面ADD₁A₁，所以EE₁∥平面FCC₁.

(2)

过D作DR⊥CD交于AB于R，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．

则F(，1,0)，B(，3,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)

所以＝(0,2,0)

＝(－，－1,2)，＝(，3,0)．

由FB＝CB＝CD＝DF，所以DB⊥FC.

又CC1⊥平面ABCD，

所以为平面FCC₁的一个法向量．

设平面BFC1的一个法向量为＝(x，y，z)

则由得

即

取x＝1得，因此＝，

所以cos(，)＝

＝＝＝.

故所求二面角的余弦值为.