Question

已知点（x，y）在曲线x2+y2=

1

4

上，则z=2x2+y2+2x+

7

4

的最小值是（　　）

• A．1
• B．

  5

  4

• C．

  5

  2

• D．0

Answer 1

分析：根据题意，将y2=

1

4

-x2代入z的表达式，化简得z=（x+1）²+1．再根据y²≥0得-

1

2

≤x≤

1

2

，利用二次函数的性质加以计算，可得当x=-

1

2

时z的最小值为

5

4

．

解答：解：∵点（x，y）在曲线x2+y2=

1

4

上，
∴y2=

1

4

-x2，代入z的表达式得
z=2x2+y2+2x+

7

4

=2x2+(

1

4

-x2)+2x+

7

4

=x²+2x+2=（x+1）²+1
∵由y2=

1

4

-x2≥0，得-

1

2

≤x≤

1

2

，
∴

1

2

≤x+1≤

3

2

，可得

1

4

≤（x+1）²≤

9

4

，
因此，z=（x+1）²+1∈[

5

4

，

13

4

]，当x=-

1

2

时，z的最小值为

5

4

．
故选：B

点评：本题点P所在的曲线方程，求关于P的坐标的二元函数的最小值．着重考查了曲线方程的化简、二次函数在闭区间上的最值求法等知识，属于中档题．