题目内容

精英家教网如图，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），F1、F2分别为椭
圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一
点B、
（1）若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；
（2）若
AF2
=2
F2B
，
AF1
•
AB
=
3
2
，求椭圆的方程．
分析：（1）根据∠F1AB=90°推断出△AOF2为等腰直角三角形，进而可知OA=OF2，求得b和c的关系，进而可求得a和c的关系，即椭圆的离心率．
（2）根据题意可推断出A，和两个焦点的坐标，设出B的坐标，利用已知条件中向量的关系，求得x和y关于c的表达式，代入椭圆方程求得a和c的关系，利用
AF1
•
AB
=
3
2
求得a和c的关系，最后联立求得a和b，则椭圆方程可得．
解答：解：（1）若∠F1AB=90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA=OF2，即b=C、
所以a=
2
c，e=
c
a
=
2
2
．
（2）由题知A（0，b），F1（-c，0），F2（c，0），
其中，c=
a2-b2
，设B（x，y）．
由
AF2
=2
F2B
?（c，-b）=2（x-c，y），解得x=
3c
2
，
y=-
b
2
，即B（
3c
2
，-
b
2
）．
将B点坐标代入
x2
a2
+
y2
b2
=1，得
9
4
c2
a2
+
b2
4
b2
=1，
即
9c2
4a2
+
1
4
=1，
解得a2=3c2．①
又由
AF1
•
AB
=（-c，-b）•（
3c
2
，-
3b
2
）=
3
2

⇒b2-c2=1，
即有a2-2c2=1．②
由①，②解得c2=1，a2=3，从而有b2=2．
所以椭圆方程为
x2
3
+
y2
2
=1．
点评：本题主要考查了椭圆的应用和椭圆的简单性质，向量的基本性质．注意挖掘题意中隐含的条件，充分利用．
练习册系列答案
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如图，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点C(
3
2
，
3
2
)且离心率为
6
3
，A、B是长轴的左右两顶点，P为椭圆上意一点（除A，B外），PD⊥x轴于D，若
PQ
=λ
QD
，λ∈(-1，0)．
（1）试求椭圆的标准方程；
（2）P在C处时，若∠QAB=2∠PAB，试求过Q、A、D三点的圆的方程；
（3）若直线QB与AP交于点H，问是否存在λ，使得线段OH的长为定值，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
（2013•汕头一模）如图．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率e=
3
2
，F1为椭圆的左焦点且
AF1
•
F1B
=1．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ．连接AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．
（2012•安徽模拟）如图，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，B为椭圆的上顶点且△BF1F2的周长为4+2
3
．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在这样的直线使得直线l与椭圆交于M，N两点，且椭圆右焦点F2恰为△BMN的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明由..
（2011•崇明县二模）如图，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），M为椭圆上的一个动点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A、B分别为椭圆的一个长轴端点与短轴的端点．当MF2⊥F1F2时，原点O到直线MF1的距离为
1
3
|OF1|．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）当点M在椭圆上变化时，求证：∠F1MF2的最大值为
π
2
；
（3）设圆x2+y2=r2（0＜r＜b），G是圆上任意一点，过G作圆的切线交椭圆于Q1，Q2两点，当OQ1⊥OQ2时，求r的值．（用b表示）
精英家教网如图，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点(1，
2
2
)，离心率为
2
2
，左、右焦点分别为F1、F2．点P为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2．
（Ⅰ）证明：
1
k1
-
3
k2
=2；
（Ⅱ）问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA+kOB+kOC+kOD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

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