Question

已知函数f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R)．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=x²-2x，若对任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R)，知f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

（x＞0）．由曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，能求出a的值．
（Ⅱ）f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

（x＞0）．根据a的取值范围进行分类讨论能求出f（x）的单调区间．
（Ⅲ）对任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），等价于在（0，2]上有f（x）_max＜g（x）_max．由此能求出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R)，
∴f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

（x＞0）．
∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，
∴f'（1）=f'（3），
即a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+

2

3

，
解得a=

2

3

．
（Ⅱ）f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

（x＞0）．
①当a≤0时，x＞0，ax-1＜0，
在区间（0，2）上，f'（x）＞0；
在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2），
单调递减区间是（2，+∞）．
②当0＜a＜

1

2

时，

1

a

＞2，
在区间（0，2）和(

1

a

，+∞)上，f'（x）＞0；
在区间(2，

1

a

)上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2）和(

1

a

，+∞)，单调递减区间是(2，

1

a

)
③当a=

1

2

时，f′(x)=

(x-2)2

2x

，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
④当a＞

1

2

时，0＜

1

a

＜2，在区间(0，

1

a

)和（2，+∞）上，f'（x）＞0；
在区间(

1

a

，2)上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是(0，

1

a

)和（2，+∞），单调递减区间是(

1

a

，2)．
（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）_max＜g（x）_max．
由已知，g（x）_max=0，由（Ⅱ）可知，
①当a≤

1

2

时，f（x）在（0，2]上单调递增，
故f（x）_max=f（2）=2a-2（2a+1）+2ln2=-2a-2+2ln2，
所以，-2a-2+2ln2＜0，解得a＞ln2-1，
故ln2-1＜a≤

1

2

．
②当a＞

1

2

时，f（x）在(0，

1

a

]上单调递增，
在[

1

a

，2]上单调递减，
故f(x)max=f(

1

a

)=-2-

1

2a

-2lna．
由a＞

1

2

可知lna＞ln

1

2

＞ln

1

e

=-1，
2lna＞-2，-2lna＜2，
所以，-2-2lna＜0，f（x）_max＜0，
综上所述，a＞ln2-1．

点评：本题考查导数在求函数的最大值与最小值问题中的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．易错点是分类不清导致致出错，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．