Question

已知函数f(x)=alnx+

1

x

(a＞0)．
（I）求函数f（x）的单调区间和极值；
（II）若?x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）依题意，x＞0，f′（x）=

a

x

-

1

x2

由f′（x）＞0得

a

x

-

1

x2

＞0，解得x＞

1

a

，函数f（x）的单调增区间为（

1

a

，+∞）
由f′（x）＜0得

a

x

-

1

x2

＜0，解得x＜

1

a

，函数f（x）的单调减区间为（0，

1

a

）
∴当x=

1

a

时，函数f（x）的极小值为f（

1

a

）=aln

1

a

+a=a-alna
（II）设g（x）=ax（2-lnx）=2ax-axlnx，则函数定义域为（0，+∞）
g′（x）=2a-（ax•

1

x

+alnx）=a（1-lnx）
由g′（x）=0，解得x=e，
由a＞0可知，当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
∴函数g（x）的最大值为g（e）=ae（2-lne）=ae
要使不等式恒成立，只需g（x）的最大值不大于1即可，即g（e）≤1
也即ae≤1，解得 a≤

1

e

又∵a＞0
∴0＜a≤

1

e