Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n且S_n=n²+2n．
（I）求数列{a_n}的通项公式：
（Ⅱ）数列{b_n}中，b1=1，bn=abn-1（n≥2），求{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（I）当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出；
（II）当n≥2时，bn=abn-1=2bn-1+1，变形b_n+1=2（b_n-1+1），可得数列{b_n+1}是等比数列．即可得出．

解答：解：（I）当n=1时，a₁=S₁=1+2=3；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，
上式对于n=1时也成立，故a_n=2n+1．
（II）当n≥2时，bn=abn-1=2bn-1+1，
∴b_n+1=2（b_n-1+1），b₁+1=2．
∴数列{b_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴bn+1=2×2n-1，∴bn=2n-1，n=1时也成立．
∴bn=2n-1．

点评：熟练掌握“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”、变形利用等比数列的通项公式等是解题的关键．