Question

已知△ABC的周长为4（

2

+1），且sinB+sinC=

2

sinA．
（Ⅰ）求边长a的值；     
（Ⅱ）若S_△ABC=3sinA，求∠A的正切值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

b+c= 2 a b+c+a=4( 2 +1)

，由此求得a的值以及b+c的值．
（2）由S_△ABC=3sinA求得bc=6，再根据b+c=4+

2

，求得cosA=

b2+c2-a2

2bc

的值，可得sinA 的值，从而求得tanA=

sinA

cosA

的值．

解答：解：（1）∵已知△ABC的周长为4（

2

+1），且sinB+sinC=

2

sinA，
故有

b+c= 2 a b+c+a=4( 2 +1)

，
∴a=4，且b+c=4

2

．
（2）若S_△ABC=3sinA，则

1

2

bc•sinA=3sinA，∴bc=6．
再根据b+c=4+

2

，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(b+c)2-2bc-a2

2bc

=

1

3

，
∴sinA=

2 2

2

，
∴tanA=

sinA

cosA

=2

2

．

点评：本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．