题目内容
【题目】已知
，
为椭圆
的左、右顶点，
为其右焦点，
是椭圆上异于
，
的动点，且
面积的最大值为
.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）直线
与椭圆在点处的切线交于点
，当点在椭圆上运动时，求证：以
为直径的圆与直线
恒相切.
【答案】（1）
，
；（2）证明见解析
【解析】
（1）根据条件和椭圆的性质
，可列方程组，解出
，即得；（2）设直线
的方程为
，由直线方程和椭圆方程联立，求出点
的坐标，再根据题意求出以
为直径的圆，判断该圆是否与直线
恒相切.
（1）由题意可设椭圆
的方程为
，
.
由题意知
，解得
，
.
故椭圆的方程为，离心率为.
（2）证明：由题意可设直线的方程为.
则点
坐标为
，中点
的坐标为
.
由
得
.
设点的坐标为
，则
.
所以
，
.
因为点
坐标为
，
当
时，点的坐标为
，直线
轴，点的坐标为
.
此时以为直径的圆
与直线相切.
当
时，则直线的斜率
.
所以直线的方程为
.
点到直线的距离
.
又因为
，所以
.
故以为直径的圆与直线相切.
综上得，当点在椭圆上运动时，以为直径的圆与直线恒相切.
【题目】某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务（货物全部用统一规格的包装箱包装），现统计了最近100天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量T（单位：箱）分成了以下几组：
，
，
，
，
，
，并绘制了如图所示的频率分布直方图（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）.
（1）该物流公司负责人决定用分层抽样的方法从前3组中随机抽出11天的数据来分析可配送货物量少的原因，并从这11天的数据中再抽出3天的数据进行财务分析，求这3天的数据中至少有2天的数据来自这一组的概率.
（2）由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T（单位：箱）服从正态分布
，其中
近似为样本平均数.
（ⅰ）试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内日货物配送量在区间
内的天数（结果保留整数）.
（ⅱ）该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖励方案.
方案一：直接发放奖金，按每日的可配送货物量划分为以下三级：
时，奖励50元；
，奖励80元；
时，奖励120元.
方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率分别为
奖金 | 50 | 100 |
概率 |
|
|
小张恰好为该公司装卸货物的一名员工，试从数学期望的角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？
附：若
，则
，
.
