Question

【题目】已知，为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）直线与椭圆在点处的切线交于点，当点在椭圆上运动时，求证：以为直径的圆与直线恒相切.

Answer 1

【答案】（1），；（2）证明见解析

【解析】

（1）根据条件和椭圆的性质，可列方程组，解出，即得；（2）设直线的方程为，由直线方程和椭圆方程联立，求出点的坐标，再根据题意求出以为直径的圆，判断该圆是否与直线恒相切.

（1）由题意可设椭圆的方程为，.

由题意知，解得，.

故椭圆的方程为，离心率为.

（2）证明：由题意可设直线的方程为.

则点坐标为，中点的坐标为.

由得.

设点的坐标为，则.

所以，.

因为点坐标为，

当时，点的坐标为，直线轴，点的坐标为.

此时以为直径的圆与直线相切.

当时，则直线的斜率.

所以直线的方程为.

点到直线的距离.

又因为，所以.

故以为直径的圆与直线相切.

综上得，当点在椭圆上运动时，以为直径的圆与直线恒相切.