Question

已知函数f(x+1)=x²-1,x∈［-1,3］,求f(x)的表达式.

Answer 1

思路分析:函数是一类特殊的对应,已知函数f(x+1)=x²-1,即知道了x+1的象是x²-1,求出x的象,即是f(x)的表达式.求解f(x)的表达式本题可用“配凑法”或“换元法”.

解法一:(配凑法)∵f(x+1)=x²-1=(x+1) ²-2(x+1),

∴f(x)=x²-2x.

又x∈［-1,3］时,(x+1)∈［0,4］,

∴f(x)=x²-2x,x∈［0,4］.

解法二:(换元法)令x+1=t,则x=t-1,且由x∈［-1,3］知t∈［0,4］,

∴由f(x+1)=x²-1,得f(t)=(t-1) ²-1=t²-2t,t∈［0,4］.

∴f(x)=(x-1) ²-1=x²-2x,x∈［0,4］.

说明:已知函数f［g(x)］的表达式,求f(x)的表达式,解决此类问题一般有两种思想方法,一种是用配凑的方法,一种是用换元的方法.

所谓“配凑法”即把已知的f［g(x)］配凑成关于g(x)的表达式,而后将g(x)全用x取代,化简得要求的f(x)的表达式;

所谓“换元法”即令已知的f［g(x)］中的g(x)=t,由此解出x,即用t的表达式表示出x,后代入f［g(x)］,化简成最简式.

需要注意的是,无论是用“配凑法”还是用“换元法”,在求出f(x)的表达式后,都需要指出其定义域,而f(x)的定义域即x的取值范围应和已知条件f［g(x)］中g(x)的范围一致,所以说求f(x)的定义域就是求函数g(x)的值域.