Question

已知动圆M过定点P（0，m）（m＞0），且与定直线l₁：y=-m相切，动圆圆心M的轨迹为C，直线l₂过点P交曲线C于A，B两点．
（1）求曲线C的方程．（2）若l₂交x轴于点S，且

|SP|

|SA|

+

|SP|

|SB|

=3，求l₂的方程．（3）若l₂的倾斜角为30°，在l₁上是否存在点E使△ABE为正三角形？若能，求点E的坐标；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）依题意，曲线C是以点P为焦点，直线l₁为准线的抛物线，由此可知曲线C的方程．
（2）由题意知k存在且k≠0，设l₂方程为y=kx+m，代入x²=4my由消去y得x²-4mkx-4m²=0
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4mk，x₁x₂=-4m²，由题设条件知k=±

1

2

，l₂方程为y=±

1

2

x+m．
（3）由题设知l₂方程为y=

3

3

x+m代入x²=4my，消去y得：x2-

4 3

3

mx-4m2=0x1=-

2 3

3

m，x2=2

3

m，A(-

2 3

3

m，

m

3

)，B(2

3

m，3m)，假设存在点E（x₀，-m），使△ABE为正三角形，则|BE|=|AB|=|AE|，由此导出|AE|=

448 27

m≠|AB|，所以直线l上不存在点E，使得△ABE是正三角形．

解答：解：（1）依题意，曲线C是以点P为焦点，直线l₁为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为x²=4my
（2）由题意知k存在且k≠0
设l₂方程为y=kx+m，代入x²=4my由消去y得x²-4mkx-4m²=0
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4mk，x₁x₂=-4m²

|SP|

|SA|

+

|SP|

|SB|

=

m

y1

+

m

y2

=

m(y1+y2)

y1y2

=

m[k(x1+x2)+2m]

(kx1+m)(kx2+m)

=

m[k(x1+x2)+2m]

k2x1x2+mk(x1+x2)+m2

=

m(2m+4mk2)

m2

=2+4k2=3
所以k=±

1

2

，l₂方程为y=±

1

2

x+m
（3）由（Ⅰ）知l₂方程为y=

3

3

x+m代入x²=4my，消去y得：x2-

4 3

3

mx-4m2=0x1=-

2 3

3

m，x2=2

3

m，A(-

2 3

3

m，

m

3

)，B(2

3

m，3m)
假设存在点E（x₀，-m），使△ABE为正三角形，则|BE|=|AB|=|AE||AB|=y1+y2+2m=

16

3

m.
由|BE|=|AE|
即(-

2 3

3

m-x0)2+(

m

3

+m)2=(2

3

m-x0)2+(3m+m)2，
化简得x0=

14 3

9

m
因为E(

14 3

9

m，-m)，则|AE|=

448 27

m≠|AB|
因此，直线l上不存在点E，使得△ABE是正三角形．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，难度较大，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用，合理地进行等价转化．