Question

如图，已知定点F（-1，0），N（1，0），以线段FN为对角线作周长是4的平行四边形MNEF．平面上的动点G满足||=2（O为坐标原点）
（I）求点E、M所在曲线C₁的方程及动点G的轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）已知过点F的直线l交曲线C₁于点P、Q，交轨迹C₂于点A、B，若||∈（），求△NPQ内切圆的半径的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据椭圆的定义，可得曲线C₁是以F、N为焦点的椭圆，由题中数据即可求出曲线C₁的方程为+y²=1；再由圆的定义即可得到动点G的轨迹C₂的方程为x²+y²=4；
（II）由题意得直线l与x轴不垂直，设l方程为y=k（x+1），利用点到直线的距离公式结合垂径定理，算出|AB|=2．设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），△NPQ内切圆半径r满足|NF|•|y₁-y₂|=•r•（|PN|+|PQ|+|QN|），结合题中数据得到r=|y₁-y₂|，由直线方程与椭圆消去x，得关于y的二次方程，再利用根与系数的关系算出|y₁-y₂|关于k的式子，从而得到r关于k的函数关系式，结合函数的单调性讨论可得r的取值范围．
解答：解：（I）∵四边形MNEF是平行四边形，周长为4
∴点E到点F、N的距离之和等于2（定长），且|NF|=2＜2
由椭圆的定义，得曲线C₁的方程为+=1（a＞b＞0）
可得a=，c=1，b²=a²-c²=1，
∴曲线C₁的方程为+y²=1
∵||=2，∴动点G的轨迹为以原点为圆心，半径为2的圆
即曲线C₂的方程为x²+y²=4；
（II）当l垂直x轴时，令x=-1代入曲线C₂的方程得y=
∴|AB|=2∉（），不符合题意
因此直线l与x轴不垂直，设l方程为y=k（x+1）
原点到直线l的距离为d=，
由圆的几何性质，得到|AB|=2=2=2
由|AB|∈（），解之得k²＞
联解，消去x得（2+）y²-y-1=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），△NPQ内切圆的半径为r
可得y₁+y₂==，y₁y₂=-=-
∵|NF|•|y₁-y₂|=•r•（|PN|+|PQ|+|QN|），其中|NF|=2，|PN|+|PQ|+|QN|=4
∴r=|y₁-y₂|
而|y₁-y₂|===
∵，∴1-
别处，因为1-＜1，即＜|y₁-y₂|，可得r=|y₁-y₂|∈（，）
∴△NPQ内切圆的半径的取值范围为（，）．
点评：本题给出动点轨迹，求轨迹的方程并讨论截得三角形内切圆半径的取值范围．着重考查了点到直线的距离公式、垂直定理、一元二次方程根与系数的关系和函数单调性等知识，属于难题．