Question

（本小题满分13分）

已知动点到点的距离等于它到直线的距离．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和．

设线段,的中点分别为，求证：直线恒过一个定点.

 

 

Answer 1

（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设动点的坐标为，

由题意得，， ---------------------------------------------3分

化简得，所以点的轨迹的方程为．-------------------5分

（Ⅱ）设两点坐标分别为，，则点的坐标为．

由题意可设直线的方程为 ，

由得.       --------------------------7分

. 

因为直线与曲线于两点，所以，

．所以点的坐标为.   ------------9分

由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为. --10分

当时，有，此时直线的斜率. 

所以，直线的方程为，-----------------------11分

整理得. 于是，直线恒过定点；  -----12分

当时，直线的方程为，也过点．

综上所述，直线恒过定点．   -----------------------------------13分