Question

如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D为顶点，任意向上翻折，折痕与BC交于点E₁，然后复原，记∠CDE₁=α₁；第二步，将纸片以D为顶点向下翻折，使AD与E₁D重合，得到折痕E₂D，然后复原，记∠ADE₂=α₂；第三步，将纸片以D为顶点向上翻折，使CD与E₂D重合，得到折痕E₃D，然后复原，记∠CDE₃=α₃；按此折法从第二步起重复以上步骤…，得到α₁，α₂，…，α_n，…，则

lim

n→∞

αn=______．

Answer 1

由第二步可知：α2=

1

2

(

π

2

-α1)；由第三步可知：α3=

1

2

(

π

2

-α2)，…依此类推：αn=

1

2

(

π

2

-αn-1)（n≥2）．
∴αn=-

1

2

αn-1-

π

4

，
∴αn-

π

6

=-

1

2

(αn-1-

π

6

)，
①若α1=

π

6

，则αn=

π

6

，此时

lim

n→∞

αn=

π

6

；
②若α1≠

π

6

，则数列{αn-

π

6

}是以α1-

π

6

为首项，-

1

2

为公比的等比数列，
∴αn-

π

6

=(α1-

π

6

)(-

1

2

)n-1，即αn=(α1-

π

6

)(-

1

2

)n-1+

π

6

．
∴

lim

n→∞

αn=

lim

n→∞

[(α1-

π

6

)(-

1

2

)n-1+

π

6

]=

π

6

．
综上可知：

lim

n→∞

αn=

π

6

．
故答案为

π

6

．