Question

已知f（θ）=sin²θ+sin²（θ+α）+sin²（θ+β），其中α、β为参数，0≤α＜β≤π．是否存在这样的α、β，使f（θ）是与θ无关的定值？若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：利用反证法，假设存在这样的α、β，使f（θ）是与θ无关的定值，令θ=0； θ=

π

2

；θ=-α； θ=-β分别推出结果使f（θ）是与θ无关的定值．

解答：解：假设存在这样的α、β，使f（θ）是与θ无关的定值，则令θ=0⇒f（0）=sin²β+siα； 
 θ=

π

2

⇒f(

π

2

)=3-sin2β-sin2α；θ=-α⇒f（-α）=sin²（β-α）+sin²α； 
θ=-β⇒f（0）=sin²β+sin²（α-β）
由题设得：f(0)=f(

π

2

)=f(-α)=f(-β)，
即sin2α=sin2β=sin2(β-α)=

3

4

．
又∵0≤α＜β≤π，∴0＜β-α≤π．
即有：sinα=sinβ=sin(β-α)=

3

2

⇒

α= π 3 β= 2π 3

．…（10分）
而当

α= π 3 β= 2π 3

时，有f(θ)=sin2θ+sin2(θ+

π

3

)+sin2(θ+

2π

3

)=

3

2

．
故存在这样的α、β，即

α= π 3 β= 2π 3

，使f（θ）是与θ无关的定值．…（12分）

点评：本题是中档题，考查反证法的应用，分类讨论思想的应用，考查计算能力．