Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（-3）=0，当x＞0时，有f（x）+xf′（x）＜0恒成立，则不等式x²f（x）＞0的解集是（　　）

A．（-3，3）

B．（-∞，-3）∪（0，3）

C．（-3，0）∪（0，3）

D．（-∞，-3）∪（3，+∞）

Answer 1

分析：x²f（x）＞0可化为f（x）＞0，且x≠0，f（x）+xf′（x）＜0，可化为[xf（x）]′＜0，从而可判断x＞0时，y=xf（x）单调性，由f（x）的奇偶性可判断y=xf（x）的奇偶性，再根据特殊点可作出y=xf（x）的草图，由图象可得f（x）＞0的解集，从而可得答案．

解答：解：f（x）+xf′（x）＜0，即[xf（x）]′＜0，
∴当x＞0时，y=xf（x）单调递减，
又f（x）为奇函数，∴y=xf（x）为偶函数，
∵f（-3）=0，∴-3•f（-3）=0，且3f（3）=0，
作出函数y=xf（x）的草图如图所示：
由图象知，当x＜-3时，xf（x）＜0，则f（x）＞0；当0＜x＜3时，xf（x）＞0，则f（x）＞0，
又x²f（x）＞0可化为f（x）＞0，且x≠0，
∴x²f（x）＞0的解集为：（-∞，-3）∪（0，3），
故选B．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的求解，考查数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力．