Question

11．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{3}$，a₂=$\frac{7}{9}$，a_n+2=$\frac{4}{3}$a_n+1-$\frac{1}{3}$a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+2=$\frac{4}{3}$a_n+1-$\frac{1}{3}$a_n变形可知a_n+2-a_n+1=$\frac{1}{3}$（a_n+1-a_n），进而可知数列{a_n+1-a_n}是以$\frac{4}{9}$为首项、$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，从而a_n-a_n-1=$\frac{4}{{3}^{n}}$，并项相加、计算即得结论；
（2）通过（1）可知na_n=n-$\frac{2n}{{3}^{n}}$，利用错位相减法计算可知数列{$\frac{n}{{3}^{n}}$}的前n项和为T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{4}$•$\frac{1}{{3}^{n}}$，进而计算可得结论．

解答 解：（1）∵a_n+2=$\frac{4}{3}$a_n+1-$\frac{1}{3}$a_n，
∴a_n+2-a_n+1=$\frac{1}{3}$（a_n+1-a_n），
又∵a₂-a₁=$\frac{7}{9}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$，
∴数列{a_n+1-a_n}是以$\frac{4}{9}$为首项、$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴a_n+1-a_n=$\frac{4}{9}$•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{4}{{3}^{n+1}}$，
∴a_n-a_n-1=$\frac{4}{{3}^{n}}$，
a_n-1-a_n-2=$\frac{4}{{3}^{n-1}}$，
a_n-2-a_n-3=$\frac{4}{{3}^{n-2}}$，
…
a₂-a₁=$\frac{4}{{3}^{2}}$，
累加得：a_n-a₁=$\frac{4}{{3}^{n}}$+$\frac{4}{{3}^{n-1}}$+$\frac{4}{{3}^{n-2}}$+…+$\frac{4}{{3}^{2}}$
=4•$\frac{\frac{1}{{3}^{2}}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$
=$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{{3}^{n}}$，
∴a_n=a₁+$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{{3}^{n}}$=1-$\frac{2}{{3}^{n}}$；
（2）由（1）可知na_n=n-$\frac{2n}{{3}^{n}}$，
记数列{$\frac{n}{{3}^{n}}$}的前n项和为T_n，
则T_n=1•$\frac{1}{3}$+2•$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}$T_n=1•$\frac{1}{{3}^{2}}$+2•$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+n•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-n•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-n•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$-（$\frac{1}{2}$+$\frac{n}{3}$）•$\frac{1}{{3}^{n}}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{2n+3}{6}$•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{4}$•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$-2T_n
=$\frac{n（n+1）}{2}$-2（$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{4}$•$\frac{1}{{3}^{n}}$）
=$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{3}{2}$+$\frac{2n+3}{2}$•$\frac{1}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．