Question

18．已知f（x）=x²-2x+4，g（x）=a^x（a＞0且a≠1），若对任意的x₁∈[1，2]，都存在x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 若对任意的x₁∈[1，2]，都存在x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，则g（x）在[-1，2]上的最大值大于f（x）在[1，2]上的最大值，结合二次函数和指数函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：∵对任意的x₁∈[1，2]，都存在x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，
∴g（x）在[-1，2]上的最大值大于f（x）在[1，2]上的最大值，
∵f（x）=x²-2x+4的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，
故f（x）在[1，2]上单调递增，
故当x=2时，f（x）取最大值4，
当0＜a＜1时，g（x）在[-1，2]上为减函数，
当x=-1时，a^-1＞4，解得：a∈（0，$\frac{1}{4}$）；
当0＜a＜1时，g（x）在[-1，2]上为增函数，
当x=2时，a²＞4，解得：a∈（2，+∞）；
综上所述，实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$）∪（2，+∞）；
故答案为：（0，$\frac{1}{4}$）∪（2，+∞）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象图象和性质，指数函数的图象和性质，熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质，是解答的关键．