Question

（2013•内江二模）已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为

6

的正三角形，侧棱垂直底面且侧棱长为2，则该三棱柱的外接球表面积是

12π

．

Answer 1

分析：由题意推出三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．

解答：解：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中，底面边长为

6

，高为2，
由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心为O，外接球的半径为r，表面积为：4πr²．
球心到底面的距离为1，
底面中心到底面三角形的顶点的距离为：

2

3

×

3

2

×

6

=

2

，
所以球的半径为r=

12+( 2 )2

=

3

．
外接球的表面积为：4πr²=12π
故答案为：12π．

点评：本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．