Question

已知函数f(x)=log

1

2

2-ax

x-1

（a是常数）．
（1）若常数a＜2且a≠0，求f（x）的定义域；
（2）若常数0＜a＜2，且知f（x）在区间（2，4）上是增函数，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据对数函数的性质，我们根据对数函数的真数部分大于0，可以构造分式不等式

2-ax

x-1

＞0，进而根据常数a＜2且a≠0，及分式不等式的解法，分a＜0时和0＜a＜2时两种情况分类讨论，即可得到答案；
（2）由已知中f（x）在区间（2，4）上是增函数，根据复合函数单调性的确定原则，我们易判断出u=

2-ax

x-1

=-a+

2-a

x-1

在（2，4）上是减函数，结合（1）中结论，我们易构造出关于a的不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围．

解答：解：（1）由

2-ax

x-1

＞0可知，
①当a＜0时，
解

2-ax

x-1

＞0得：
x＜

2

a

，或x＞1
∴函数的定义域为(-∞，

2

a

)∪(1，+∞)；
②当0＜a＜2时，
解

2-ax

x-1

＞0得：
1＜x＜

2

a

，
∴函数的定义域为(1，

2

a

)．
（2）令u=

2-ax

x-1

，
则f(x)=log

1

2

u减函数，
∴u=

2-ax

x-1

=-a+

2-a

x-1

在（2，4）上是减函数，
则：

2-a＞0 umin= 2-4a 4-1 ≥0 0＜a＜2

⇒0＜a≤

1

2

故a的取值范围为（0，

1

2

]

点评：本题考查的知识点是对数函数的定义域，分式不等式的解法，函数单调性的判断与证明，对数函数的单调性，其中（1）的关键是根据对数函数的真数部分大于0，构造分式不等式

2-ax

x-1

＞0，（2）的关键是根据复合函数单调性的确定原则，得到u=

2-ax

x-1

=-a+

2-a

x-1

在（2，4）上是减函数，进而构造出关于a的不等式组．本题（2）易忽略对数的真数大于0的同，而错解为0＜a＜2．