Question

已知数列{a_n}满足：a_n=log_n+1（n+2），定义使a₁•a₂•a₃…a_k为整数的数k（k∈N^*）叫做希望数，则区间[1，2010]内所有希望数的和M=（ ）
A．2026
B．2036
C．2046
D．2048

Answer 1

【答案】分析：利用a_n=log_n+1（n+2），化简a₁•a₂•a₃…a_k，得k=2^m-2，给m依次取值，可得区间[1，2010]内所有希望数，然后求和．
解答：解：a_n=log_n+1（n+2），
∴由a₁•a₂•a_k为整数得，log₂3•log₃4…log_（k+1）（k+2）=log₂（k+2）为整数，
设log₂（k+2）=m，则k+2=2^m，∴k=2^m-2； 因为2¹¹=2048＞2010，
∴区间[1，2010]内所有希望数为2²-2，2³-2，2⁴-2，，2¹⁰-2，
其和M=2²-2+2³-2+2⁴-2+…+2¹⁰-2=2026．
故选A．
点评：本题考查对数函数的运算性质，求出区间[1，2010]内所有希望数为2²-2，2³-2，2⁴-2，，2¹⁰-2，是解题的关键．