Question

已知α，β∈（0，π），sinα=，sin（α+β）=，则cosβ=________．

Answer 1

-，或
分析：①当α为锐角时，则α+β为钝角，此时，求出cosα 和cos（α+β）的值，利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．②当α为钝角时，则α+β为钝角，此时，求出cosα 和cos（α+β） 的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．
解答：∵已知α，β∈（0，π），sinα=，sin（α+β）=，sinα＞sin（α+β），
∴①当α为锐角时，则α+β为钝角，此时，cosα=，cos（α+β）=-，
cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β） cosα+sin（α+β） sinα=-×+=-．
②当α为钝角时，则α+β为钝角，此时，cosα=-，cos（α+β）=-，
cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-×（-）+=，
故答案为-，或．
点评：本题主要考查两角和差的余弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．