Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为3的正三角形，且侧棱长为2，则这个三棱柱的外接球的体积为

1. A.
   
2. B.
   4π
3. C.
   
4. D.
   16π

Answer 1

C
分析：先根据题意画出图形，再设三棱柱外接球的球半径为r，利用在直角三角形ADO中的边的关系求出球半径，最后利用球的体积公式即可求出这个三棱柱的外接球的体积．
解答：解：设三棱柱外接球的球心为O，球半径为r，
三棱柱的底面三角形ABC的中心为D，如图，
有：OA=r，由于三棱柱的高为2，∴OD=1，
又在正三角形ABC中，AB=3，则AD=，
∴在直角三角形ADO中，OA²=OD²+AD²有r²=1²+（）²，
∴r=2，
则这个三棱柱的外接球的体积为V=×r³=．
故选C．
点评：本题是基础题，考查几何体的外接球的体积的应用，三棱柱的性质等，考查计算能力．