Question

已知函数f（x）=lnx+2x，g（x）=a（x²+x）．
（1）若a=

1

2

，求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若a≥1恒成立，求证：f（x）≤g（x）．

Answer 1

分析：（1）把a的值代入，求出函数F（x）的定义域，求其导函数，由导函数大于0求解x的取值范围，得函数的增区间，由导函数小于0求解x的取值范围，得其减区间；
（2）构造辅助函数h（x）=f（x）-g（x），利用导数求该函数在其定义域内的最大值，由a的范围得到其最大值小于等于0，从而问题得证．

解答：（1）解：当a=

1

2

时，F(x)=lnx+2x-

1

2

(x2+x)（x＞0），F′(x)=

1

x

-x+

3

2

=

2-2x2+3x

2x

=

-(2x+1)(x-2)

2x

∵x＞0，∴当0＜x＜2时，F'（x）＞0，当x＞2时，F'（x）＜0，
∴F（x）的增区间为（0，2），减区间为（2，+∞）；
（2）证明：令h（x）=f（x）-g（x）=lnx+2x-a（x²+x）（x＞0），
则由h′(x)=f′(x)-g′(x)=

1

x

+2-2ax-a=

-(2x+1)(ax-1)

2

=0，
解得x=

1

a

．
∴当x∈(0，

1

a

)时，h^′（x）＞0，h（x）在(0，

1

a

)上增，
当x∈(

1

a

，+∞)时，h^′（x）＜0，h（x）在(

1

a

，+∞)上减．
∴当x=

1

a

时，h（x）有极大值，h(

1

a

)=ln

1

a

+

2

a

-a(

1

a2

+

1

a

)=ln

1

a

+

1

a

-1
∵a≥1，∴ln

1

a

≤0，

1

a

-1≤0，∴ln

1

a

+

1

a

-1≤0．
而h（x）在（0，+∞）上的极大值也就是最大值．
∴h(x)≤h(

1

a

)≤0，所以f（x）≤g（x）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用构造函数法比较两个函数的函数值大小，在公共定义域范围内，两个函数的差函数的函数恒小于0，说明被减函数的函数值恒小于减函数的函数值，此题是中档题．