Question

已知正数数列{a_n}的前n项和为Sn，满足S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³．
（I）求证：数列{a_n}为等差数列，并求出通项公式；
（II）设b_n=（1-）²-a（1-），若b_n+1＞b_n对任意n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：法一：
（Ⅰ）由S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³，知S_n-1²=a₁³+a₂³+…+a_n-1³，两式相减，得=a_n（S_n+S_n-1），由a_n＞0，知（n≥2），故，两式相减，得=a_n+a_n-1，由此能够证明数列{a_n}为等差数列，通项公式为a_n=n．
（Ⅱ）=，令，则，设g（t）=t²+（a-2）t+1-a，当a＜时，g（t）在（0，]上为减函数，由此能求出实数a的取值范围．
法二：
（Ⅰ）同法一．
（Ⅱ），故，由此能求出实数a的取值范围．
解答：解：法一：
（Ⅰ）∵S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³，
∴S_n-1²=a₁³+a₂³+…+a_n-1³，
两式相减，得=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=a_n（S_n+S_n-1），
∵a_n＞0，∴（n≥2），
∴，
两式相减，得=a_n+a_n-1，
∴a_n-a_n-1=1（n＞3），
∵，且a₁＞0，∴a₁=1，
，
∴（1+a₂）²=1+，∴，
由a₂＞0，得a₂=2，
∴a_n-a_n-1=1，n≥2，
故数列{a_n}为等差数列，通项公式为a_n=n．
（Ⅱ）=，
令，则，
设g（t）=t²+（a-2）t+1-a，
当时，即a＜时，g（t）在（0，]上为减函数，
且，∴b₁＜b₂＜b₃＜…
当时，即时，，从而b₂≤b₁不合题意，
∴实数a的取值范围．
法二：
（Ⅰ）同法一．
（Ⅱ），
∴，
即对任意n∈N^*成立，
∴实数a的取值范围．
点评：本题考查等差数列的证明和通项公式的求法，考查实数取值范围的求法．考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．