Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且有S_n=n²n，数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9项和为153；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）设c_n=，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为数列{a_n}的前n项和为S_n，且有S_n=n²n，利用公式a_n=S_n-S_n-1，求出a_n的通项公式；
（2）又因为b_n+2-2b_n+1+b_n=0，所以数列{b_n}为等差数列，根据等差数列的性质，求出b_n的通项公式；
（3）由（1）可知a_n和b_n的通项公式，代入c_n=，利用裂项法，求出前n项和T_n，根据不等式T_n，求出k的值；
解答：解：（1）因为S_n=n²n，故
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n+5；当n=11时，a₁=S₁=6；满足上式；
所以a_n=n+5，
（2）又因为b_n+2-2b_n+1+b_n=0，所以数列{b_n}为等差数列；
由S₉==153，b₃=11，故b₇=23；所以公差d==3；
所以：b_n=b₃+（n-3）d=3n+2；
（3）由（1）知：C_n==，
而C_n===（-）
所以：T_n=c₁+c₂+c₃+c₄+…+c_n=[1-++…+-]
=（1-）=，
又因为T_n+1-T_n=-=＞0；
所以{T_n}是单调递增，故（T_n）_min=T₁=；
由题意可知＞；得k＜19，所以k的最大正整数为18；
点评：本题为数列和不等式的综合应用，涉及求数列的通项，数列的求和以及恒成立问题，数列题是高考中常考的题型，属中档题，有一定的难度；