Question

【题目】已知函数，.

（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数的值；

（2）试讨论函数在区间上最大值；

（3）若时，函数恰有两个零点，求证：.

Answer 1

【答案】(1);(2) 当时,,当时，;(3)见解析.

【解析】

试题分析：(1)求函数的导数，由求之即可；(2) ，分当与分别讨论函数的单调性，求其最值即可；(3)由可得，即，设，则，即，故，用作差比较法证明即可.

试题解析： （1）由，，

由于函数在处的切线与直线平行，

故，解得.

（2），由时，；时，，

所以①当时，在上单调递减，

故在上的最大值为；

②当，在上单调递增，在上单调递减，

故在上的最大值为；

（3）若时，恰有两个零点，

由，，

得，

∴，设，，，

故，

∴，记函数，因，

∴在递增，∵，∴，

又，，故成立.