题目内容

已知1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，1+2+3+…+n=.观察下列立方和13，13+23，13+23+33，13+23+33+43,…,试归纳出上述求和的一般公式.

解：

由此可以得出求和的一般公式为13+23+…+n3=

练习册系列答案
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已知有穷数列{an}只有2k项（整数k≥2），首项a1=2，设该数列的前n项和为Sn，且Sn=
an+1-2
a-1
(n=1，2，3，…，2k-1)，其中常数a＞1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若a=2
2
n-1
，数列{bn}满足bn=
1
n
log2(a1a2…an)，(n=1，2，3，…，2k)，求证：1≤bn≤2．
已知1+2+3+…+n=
n(n+1)
2
(n∈N*)，对于求1+2+3+…+100的一个算法：
第一步：取n=100；
第二步：
计算
100×101
2
计算
100×101
2
；
第三步：输出计算结果．
(理)已知函数f(x)=x,g(x)=ln(1+x),h(x)=.

(1)证明当x＞0时,恒有f(x)＞g(x);

(2)当x＞0时,不等式g(x)＞(k≥0)恒成立,求实数k的取值范围;

(3)在x轴正半轴上有一动点D(x,0),过D作x轴的垂线依次交函数f(x)、g(x)、h(x)的图象于点A、B、C,O为坐标原点.试将△AOB与△BOC的面积比表示为x的函数m(x),并判断m(x)是否存在极值,若存在,求出极值;若不存在,请说明理由.

(文)已知函数f(x)=,x∈(0,+∞),数列{an}满足a1=1,an+1=f(an);数列{bn}满足b1=1,bn+1=,其中Sn为数列{bn}的前n项和,n=1,2,3,….

(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式;

(2)设Tn=,证明Tn＜3.

已知函数f(x)的定义域为［0,1］,且满足下列条件:

①对于任意x∈［0,1］,总有f(x)≥3,且f(1)=4;

②若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)-3.

(1)求f(0)的值;

(2)求证:f(x)≤4;

(3)当x∈(］(n=1,2,3,…)时,试证明f(x)＜3x+3.

(文)如图,设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,且A、B两点坐标为(x1,y1)、(x2,y2),y1＞0,y2＜0,P是此抛物线的准线上的一点,O是坐标原点.

(1)求证:y1y2=-p2;

(2)直线PA、PF、PB的方向向量为(1,a)、(1,b)、(1,c),求证:实数a、b、c成等差数列;

(3)若=0,∠APF=α,∠BPF=β,∠PFO=θ,求证:θ=|α-β|.

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