Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a＞b＞0)的图象与x轴有两个不同的交点A,B,且f(1)=0.

(1)求的范围;

(2)证明＜|AB|＜3.

Answer 1

思路分析:本题考查了一次函数的图象,二次函数的性质及二次函数在x轴上截得的线段长度等知识.

(1)解:∵f(1)=0,∴a+b+c=0,b=-a-c.

若a＜0,由a＞b＞c知b＜0,c＜0.

∴a+b+c＜0与a+b+c=0矛盾.

又a≠0,

∴a＞0.同理,可证c＜0.

由a＞-a-c＞c,

得

∴-2＜.

(2)证明:ax²+bx+c=ax²-(a+c)x+c=(ax-c)(x-1)=0.

∴x_A=,x_B=1或x_A=1,x_B=.

∴|AB|=|x_A-x_B|=|1-|.

由(1)知-2＜＜-,

∴1+＜1-＜1+2,

即＜|AB|＜3.