Question

在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=

π

2

，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如图1．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且

SE

=

1

3

SD

，如图2．
（1）求证：SA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-D的正切值；
（3）在线段BC上是否存在点F，使SF∥平面EAC？若存在，确定F的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（法一）
（1）由题意可知，题图2中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；
（2）（三垂线法）由

SE

=

1

3

SD

考虑在AD上取一点O，使得 

AO

=

1

3

AD

，从而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，∠EHO为二面角E-AC-D的平面角，在Rt△AHO中求解即可
（3）取BC中点F，所以

FM

MD

=

FC

AD

=

1

2

，又由题意

SE

ED

=

1

2

从而可得SF∥EM，所以有SF∥平面EAC
（法二：空间向量法）
（1）同法一
（2）以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为

AS

=(0，0，2)，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可
（3）由SF∥平面EAC，所以

SF

•n=0，利用向量数量的坐标表示，可求

解答：解法一：（1）证明：在题图1中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，
所以在题图2中，SA⊥AB，SA=2，
四边形ABCD是边长为2的正方形，
因为SB⊥BC，AB⊥BC，
所以BC⊥平面SAB，（2分）
又SA?平面SAB，
所以BC⊥SA，
又SA⊥AB，
所以SA⊥平面ABCD，（4分）

（2）在AD上取一点O，使

AO

=

1

3

AD

，连接EO．
因为

SE

=

1

3

SD

，所以EO∥SA
所以EO⊥平面ABCD，
过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，
则AC⊥平面EOH，
所以AC⊥EH．
所以∠EHO为二面角E-AC-D的平面角，EO=

2

3

SA=

4

3

．
在Rt△AHO中，∠HAO=45°，HO=AO•sin45°=

2

3

×

2

2

=

2

3

．tan∠EHO=

EO

OH

=2

2

，
即二面角E-AC-D的正切值为2

2

．（9分）

（3）当F为BC中点时，SF∥平面EAC，
理由如下：取BC的中点F，连接DF交AC于M，
连接EM，AD∥FC，
所以

FM

MD

=

FC

AD

=

1

2

，又由题意

SE

ED

=

1

2

SF∥EM，
所以SF∥平面EAC，即当F为BC的中点时，
SF∥平面EAC（12分）
解法二：（1）同方法一（4分）

（2）如图，以A为原点建立直角坐标系，
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，

2

3

，

4

3

）
易知平面ACD的法向为

AS

=(0，0，2)
设平面EAC的法向量为n=（x，y，z）

AC

=(2，2，0)，

AE

=(0，

2

3

，

4

3

)
由

n• AC =0 n• AE =0

，
所以

x+y=0 y+2z=0

，可取

x=2 y=-2 z=1

所以n=（2，-2，1）．（7分）
所以cos＜n，

AS

＞=

n• AS

|n|| AS |

=

2

2×3

=

1

3

所以tan＜n，

AS

＞=2

2

即二面角E-AC-D的正切值为2

2

．（9分）
（3）设存在F∈BC，
所以SF∥平面EAC，
设F（2，a，0）
所以

SF

=(2，a，-2)，由SF∥平面EAC，
所以

SF

•n=0，所以4-2a-2=0，
即a=1，即F（2，1，0）为BC的中点（12分）

点评：本题主要考查了空间直线与平面的位置关系：直线与平面平行及直线与平面平行的判定定理的运用，空角角中的二面角的平面角的作法及求解，利用向量的方法求解空间距离及空间角 的方法．