Question

13．如图所示，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB₁A₁为菱形，∠DAB=∠DAA₁．
（Ⅰ）求证：A₁B⊥AD；
（Ⅱ）若AD=AB=2BC，∠A₁AB=60°，点D在平面ABB₁A₁上的射影恰为线段A₁B的中点，求平面DCC₁D₁与平面ABB₁A₁所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过已知条件易得$|\overrightarrow{AB}|$=$|\overrightarrow{A{A}_{1}}|$、∠DAB=∠DAA₁，利用$\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{AD}$=0即得A₁B⊥AD；
（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系O-xyz，平面DCC₁D₁与平面ABB₁A₁所成锐二面角的余弦值即为平面ABB₁A₁的法向量与平面DCC₁D₁的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．

解答 （Ⅰ）通过条件可知$|\overrightarrow{AB}|$=$|\overrightarrow{A{A}_{1}}|$、∠DAB=∠DAA₁，利用$\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{AD}$=即得A₁B⊥AD；
（Ⅱ）解：设线段A₁B的中点为O，连接DO、AB₁，
由题意知DO⊥平面ABB₁A₁．
因为侧面ABB₁A₁为菱形，所以AB₁⊥A₁B，
故可分别以射线OB、射线OB₁、射线OD为x轴、y轴、z轴
的正方向建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示．
设AD=AB=2BC=2a，由∠A₁AB=60°可知|0B|=a，$|OA|=|O{B}_{1}|=\sqrt{3}a$，
所以$|OD|=\sqrt{|AD{|}^{2}-|OA{|}^{2}}$=a，从而A（0，$-\sqrt{3}$a，0），B（a，0，0），
B₁（0，$\sqrt{3}$a，0），D（0，0，a），所以$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（-a，$\sqrt{3}$a，0）．
由$\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$可得C（a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{1}{2}$a），所以$\overrightarrow{DC}$=（a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，-$\frac{1}{2}$a），
设平面DCC₁D₁的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₀，y₀，z₀），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{DC}$=0，得$\left\{\begin{array}{l}{-a{x}_{0}+\sqrt{3}a{y}_{0}=0}\\{a{x}_{0}+\frac{\sqrt{3}}{2}a{y}_{0}-\frac{1}{2}a{z}_{0}=0}\end{array}\right.$，
取y₀=1，则x₀=$\sqrt{3}$，z₀=$3\sqrt{3}$，所以$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，$3\sqrt{3}$）．
又平面ABB₁A₁的法向量为$\overrightarrow{OD}$=D（0，0，a），
所以$cos＜\overrightarrow{OD}，\overrightarrow{m}＞$=$\frac{\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{OD}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{3\sqrt{3}a}{\sqrt{31}a}$=$\frac{3}{31}\sqrt{93}$，
故平面DCC₁D₁与平面ABB₁A₁所成锐二面角的余弦值为$\frac{3}{31}\sqrt{93}$．

点评 本题考查二面角，空间中两直线的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．