题目内容

已知函数，若函数h（x）=f（x+α）的图象关于点对称，且α∈（0，π），则α=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】分析：利用二倍角公式可求得f（x）=2sin（2x-），从而知h（x）=f（x+α）=2sin（2x+2α-），利用其图象关于（-，0）对称即可求得α．
解答：解：∵f（x）=1-cos（+2x）-cos2x-1
=sin2x-cos2x
=2sin（2x-），
∴h（x）=f（x+α）=2sin（2x+2α-），
∵其图象关于（-，0）对称，
∴2×（-）+2α-=kπ，k∈Z，
∴2α=（k+1）π，k∈Z．
∴α=π，又α∈（0，π），
∴α=．
故选B．
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，着重考查正弦函数的对称性，属于中档题．
练习册系列答案
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已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：
①函数f（x）在其定义域上是单调函数；
②在函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是
a
2
，且最大值是
b
2
．请解答以下问题
（1）判断函数f(x)=x+
2
x
(x∈(0，+∞))是否属于集合M？并说明理由；
（2）判断函数g（x）=-x3是否属于集合M？并说明理由．若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；
（3）若函数h(x)=
x-1
+t∈M，求实数t的取值范围．
已知函数f(x)=
1
4
x4-
2
3
ax3-
3
2
x2+6ax，g(x)=
2
3
ax3．
（I）若a＞1，求函数y=f（x）的单调区间；
（II）若函数h（x）=f（x）+g（x）有三个极值点，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=
13
x3+ax2（常数a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数h（x）=f（x）+16x+8在x∈[2，+∞） 时为增函数，求a的取值范围．
已知函数f（x）=ax2+ln（x+1），（a∈R）．
（Ⅰ）设函数Y=F（X-1）定义域为D
①求定义域D；
②若函数h（x）=x4+[f（x）-ln（x+1）]（x+
1
x
）+cx2+f′（0）在D上有零点，求a2+c2的最小值；
（Ⅱ） 当a=
1
2
时，g（x）=f′（x-1）+bf（x-1）-ab（x-1）2+2a，若对任意的x∈[1，e]，都有
2
e
≤g（x）≤2e恒成立，求实数b的取值范围；（注：e为自然对数的底数）
（Ⅲ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在
x≥0
y-x≤0
所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=ax4+bx2+cx+1（a，b，c∈R），在x=-1处取得极值，在x=-2处的切线与直线x-8y=0垂直．
（1）求常数a，b，c的值；
（2）对于函数h（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式h（x）≥kx+m≥g（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数h（x），g（x）的分界线，求函数f（x）与函数g（x）=-x2+2x+1的“分界线”方程．

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