Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，若存在，使不等式成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）问题等价于，令，问题转化为求出，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求出的最小值，从而求出的最小值即可.

详解：（1）解：∵

∴

∴当即时，对恒成立

此时，的单调递增区间为，无单调递减区间

当，即时，由，得，由，得

此时，的单调递减区间为，单调递增区间为

综上所述，当时，的单调递增区间为,无单调递减区间；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为

（2）解：由，得：

当时，上式等价于

令

据题意，存在，使成立，则只需，

令，显然在上单调递增

而，

∴存在，使，即

又当时，，单调递减，当时，，单调递增

∴当时，有极小值（也是最小值）

∴

∵ ，即，∴，∴

又，且， ∴的最小值为2.