Question

已知函数f（x）=e^x（x²-a），其图象记为曲线C．曲线C在点A（0，f（0））处切线的斜率为-3．
（Ⅰ）求曲线C在点A处的切线方程；  
（Ⅱ）求f（x）的极值．

Answer 1

分析：（1）先由所给函数的表达式，求导数f′（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由平行直线的斜率相等方程求a的值，进而得到切线方程；
（2）令导数f′（x）＞0或f′（x）＜0，求出函数的单调区间，进而得到函数的极值．

解答：解：f′（x）=e^x（x²+2x-a）
（1）f′（0）=e⁰（0+2×0-a）=-a=-3，解得a=3
所以f（0）=e⁰（0²-3）=-3，
故曲线C在点A处的切线方程为y-（-3）=-3（x-0）
整理得到3x+y+3=0
（2）令f′（x）=e^x（x²+2x-3）=0，得x₁=1，x₂=-3
当x＜-3或x＞1时，f′（x）＞0，当-3＜x＜1时，f′（x）＜0，
故f（x）在（-∞，-3），（1，+∞）上递增，（-3，1）上递减
极大值为f（-3）=e^-3[（-3）²-3]=

6

e3

，极小值f（1）=e¹（1²-3）=-2e．

点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力．