Question

已知f（x）是定义在集合D上的函数，且-1＜f′（x）＜0．
（1）若f(x)=-

x

2

+asinx，在[

π

2

，π]（[

π

2

，π]⊆D）上的最大值为

1-π

4

，试求不等式|ax+1|＜a的解集．
（2）若对于定义域中任意的x₁，x₂，存在正数ε，使|x₁-1|＜

ε

2

且|x₂-1|＜

ε

2

，求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜ε．

Answer 1

分析：（1）由函数的单调性得到函数的最大值，进而得到a的值，解出不等式即可；
（2）不妨设x₁＜x₂，令g（x）=f（x）+x，由已知得到函数g（x）的单调性，进而得到f(x1)-f(x2 )＜x2-x1 ，又由函数f（x）的单调性，得到|f(x1)-f(x2 )|＜|x2-x1 |≤|x2-1|-|x1 -1|＜?，即得证．

解答：解：（1）由于f′（x）＜0，则函数f（x）在[

π

2

，π]上单调递减，
故fmax(x)=f(

π

2

)=-

π 2

2

+asin

π

2

=

1-π

4

，解得a=

1

4

则原不等式为|

1

4

x+1|＜

1

4

，解之得-5＜x＜-3
故原不等式的解集为（-5，-3）；
（2）不妨设x₁＜x₂，令g（x）=f（x）+x
由于f′（x）＞-1，故g′（x）=f′（x）+1＞0，则函数g（x）为其定义域上的增函数，
即g(x1)＜g(x2 )，亦即f(x1)+x1＜f(x2 )+x2 ，
则f(x1)-f(x2 )＜x2-x1 
又由函数f（x）在D上递减，则f(x1)＞f(x2 )
故|f(x1)-f(x2 )|＜|x2-x1 |
∵|f(x1)-f(x2 )|＜|x2-x1 |=|(x2-1)-(x1 -1)|≤|x2-1|-|x1 -1|＜

?

2

+

?

2

=?
∴|f(x1)-f(x2 )|＜?

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．