Question

（选做题）求函数f（x）=（2^x）²-a•2^x-4在x∈[-1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：2^x=t，则t∈[

1

2

，4]，则f（x）=g（t）=t²-at-4，分当

a

2

≤

1

2

、当

1

2

＜

a

2

＜4、当

a

2

≥4三种情况，本别求出函数g（t）的最小值，综合可得结论．

解答：解：设2^x=t，∵x∈[-1，2]，∴t∈[

1

2

，4]，
∴f（x）=g（t）=t²-at-4．
此函数的对称轴为 t=

a

2

．
①当

a

2

≤

1

2

，即a≤1时，g（t）在[

1

2

，4]单调递增，最小值为g（

1

2

）=-

a

2

-

15

4

．
②当

1

2

＜

a

2

＜4时，即1＜a＜8时，函数g（t）的最小值等于 g（

a

2

）=

a2

2

-4．
③当

a

2

≥4时，即a≥8时，g（t）在[

1

2

，4]单调递减，函数g（t）的最小值等于g（4）=-4a+12．
综上可得，函数g（t）的最小值g_min（t）=

- a 2 - 15 4  ，  a≤1 - a2 2 -4 ，  1＜a＜8 -4a+12  ，a≥8

．

点评：本题主要考查指数型函数的性质以及应用，二次函数的性质，属于中档题．