题目内容
已知函数f（x）=lnx+2x（1）判断f（x）的单调性并用定义证明；
（2）设
，若对任意x1∈（0，1），存在x2∈（k，k+1）（k∈N），使f（x1）＜g（x2），求实数k的最大值．
【答案】分析：（1）求函数的定义域，然后利用函数单调性的定义进行证明．（2）利用函数的单调性求实数k的最大值．
解答：解：（1）增函数 …（1分）
因为函数的定义域为（0，+∞），
设x1＞x2＞0…（2分）
则f（x1）-f（x2）=lnx1-lnx2+2（x1-x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）是增函数 …（4分）
（2）由（1）知f（x）在（0，+∞）是增函数
∴f（x1）＜f（1）=2…（6分）
令g（x2）≥2即
即
得
∵
…（8分）
∴kmax=2…（10分）
点评：本题主要考查函数单调性的判断，利用定义法是判断函数单调性中比较常用的方法．
解答：解：（1）增函数 …（1分）
因为函数的定义域为（0，+∞），
设x1＞x2＞0…（2分）
则f（x1）-f（x2）=lnx1-lnx2+2（x1-x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）是增函数 …（4分）
（2）由（1）知f（x）在（0，+∞）是增函数
∴f（x1）＜f（1）=2…（6分）
令g（x2）≥2即
即得
∵
…（8分） ∴kmax=2…（10分）
点评：本题主要考查函数单调性的判断，利用定义法是判断函数单调性中比较常用的方法．
练习册系列答案
相关题目