Question

三棱锥P－ABC中，AP＝AC,PB＝2，将此三棱锥沿三条侧棱剪开其展开图是一个直角梯形(如图)．(1)求证：侧棱PB⊥AC；(2)求侧面PAC与底面ABC所成的角θ的余弦．

Answer 1

答案：
解析：

分析:(1)折叠与展开是互逆过程，将直角梯形折成三棱锥时，⊥，⊥的关系不变，于是在三棱锥中有PB⊥AP，PB⊥CP，故PB⊥平面PAC，从而PB⊥AC； (2)作PD⊥AC，则由三垂线定理知BD⊥AC，于是∠PDB是二面角P－AC－B的平面角，即∠PDB＝θ，再作AE⊥于E，则AE＝4且E是的中点，设＝＝AC＝x，CE＝＝y，在Rt△ACE中，则有，且由得2(x－y)＝x＋y．解得x＝3，y＝．由·AC＝·AE，得PD＝＝＝，由PB＝2，PD＝，BD＝，由余弦定理求得cosθ＝．