Question

已知f(x)=e x+

1

e x

（1）证明函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数
（2）求函数f（x）在R上的最值．

Answer 1

分析：（1）先求函数f（x）的导函数f′（x），再证得f′（x）≥0，从而证明函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数；
（2）利用导数求区间上的最值，要先求导函数，令导数为0解出极值点，即可求出函数f（x）在R上的最值．

解答：解：（1）f(x)=e x+

1

e x

∴f′(x)=e x-

1

e x

，
当x≥0时，e^x＞1，∴0＜

1

ex

≤1，
∴f′(x)=e x-

1

e x

≥0，
∴函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数；
（2）由（1）得f′(x)=e x-

1

e x

，令f′(x)=e x-

1

e x

=0，得x=0，
且当x＜0时，f′(x)=e x-

1

e x

＜0，∴函数f（x）在区间（-∞，0）上是减函数；
由（1）知函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数；
∴当x=0时，函数f（x）取得最小值2，无最大值．

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性．属于中档题．