Question

已知关于x的方程2x2-(

3

+1)x+m=0的两根为sinθ和cosθ，θ∈（0，2π），
（1）求实数m的值；
（2）求

sinθ

1-cotθ

+

cosθ

1-tanθ

的值．（其中cotθ=

cosθ

sinθ

）

Answer 1

分析：（1）利用韦达定理推出关系式，即可求出m的值．
（2）利用（1）的结果，化简所求表达式，即可求解．

解答：解：∵sinθ，cosθ为方程2x2-(

3

+1)x+m=0的两根
则有：

△=[-( 3 +1)]2-4×2×m≥0  …(1) sinθ+cosθ= 3 +1 2     …(2) sinθ•cosθ= m 2  …(3)

（3分）
由（2）、（3）有：(

3 +1

2

)2=1+2•

m

2

（5分）
解得：m=

3

2

此时△=4-2

3

＞0∴m=

3

2

（6分）

sinθ

1-cotθ

+

cosθ

1-tanθ

=

sinθ

1- cosθ sinθ

+

cosθ

1- sinθ cosθ

=

sin2θ

sinθ-cosθ

+

cos2θ

cosθ-sinθ

=

sin2θ-cos2θ

sinθ-cosθ

=sinθ+cosθ=

3 +1

2

（12分）

点评：本题考查韦达定理以及三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．