Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax2+bx，且f'（-1）=0
（Ⅰ）试用含a的代数式表示b；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）令a=-1，设函数f（x）在x₁，x₂（x₁＜x₂）处取得极值，记点M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂）），证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M、N的公共点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）：已知f′（-1）=0，根据求导数的方法先求出f′（x），把x=-1代入得到关于a和b的等式解出b即可；
（Ⅱ）：令f′（x）=0求出稳定点时x的值1-2a和-1，根据1-2a和-1的大、小、相等分三种情况讨论函数的增减性即可；
（Ⅲ）：利用反证法，假设线段MN与曲线f（x）不存在异于M、N的公共点．推出函数不单调矛盾．原结论正确．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x²+2ax+b依题意，得f′（-1）=1-2a+b=0
故b=2a-1．
（Ⅱ）由（a）得f(x)=

1

3

x3+ax2+(2a-1)x
故f′（x）=x²+2ax+2a-1=（x+1）（x+2a-1）
令f′（x）=0，则x=-1或x=1-2a
分情况讨论得：
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表：

（1）当a＞1时，1-2a＜-1由此得，函数f（x）的单调增区间为（-∞，1-2a）和（-1，+∞），单调减区间为（1-2a，-1）．
（2）当a=1时，1-2a=-1．此时f′（x）≥0恒成立，且仅在x=-1处f′（x）=0故函数f（x）的单调增区间为R．
（3）当a＜1时，1-2a＞-1同理可得函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（1-2a，+∞）单调减区间为（-1，1-2a）．
（Ⅲ）假设线段MN与曲线f（x）不存在异于M、N的公共点．
当a=-1时，由（a）的b=2a-1=-3．f（x）=

1

3

x3-x²-3x就不在区间内单调与a＜-1单调减矛盾．
所以假设错误．故线段MN与曲线f（x）存在异于M、N的公共点．

点评：此题考查学生利用导数研究函数单调的方法，以及反证法的运用．